Игра жизни

Записи с меткой «игра»

При конечной вероятности ошибки способность к отбору можно восстановить, если ввести распределение вероятностей индивидуального удвоения и удаления. Эти распределения вероятностей должны быть таковы, чтобы в среднем общее число шаров в ящике оставалось постоянным. В природе такая стационарность в общем случае устанавливается автоматически из-за ограниченности притока высокоэнергетических веществ (пищи). В эксперименте или в игре стационарность всегда можно поддерживать регулирующим воздействием (реакционную систему можно, например, разбавлять или концентрировать). Удельные скорости продукции каждого отдельного «вида» определяются разностью вероятностей удвоения и удаления, а также притоком и оттоком вследствие ошибок. Эти скорости можно выразить через функцию ценности Wu которая содержит энергетические и временные параметры, характеризующие точность узнавания и трансляции, скорость копирования и время жизни. В зависимости от механизма реакций и степени их сопряжения функция ценности может иметь довольно сложный вид. Тем не менее ее физическое обоснование совершенно определенно: единичным процессам соответствуют стохастические законы, макроскопическим приростам — детерминистическая теория. Из величины W { вычитается средняя продуктивность JE(t) t зависящая от времени. Разность обеих величин определяет судьбу отдельного «вида»:

W t — Е (t) > О означает выживание г W t — E(t) <. О означает вымирание.

Величина Е (t) представляет собой переменное во времени пороговое значение. Изменяя его, система может постоянно приспосабливаться к новым ситуациям* Стабильный отбор означает, что

E(t\ —^ W Q9U

Процесс копирования может ограничиваться единичными видами, доминирующими в популяции и окруженными «кометным хвостом» мутантов; эти виды будут поочередно сменять друг друга в процессе прогрессирующей оптимизации системы. Однако этот процесс может включать в себя и целый ансамбль, в котором отдельные виды будут сопряжены друг с другом посредством самых разнообразных связей. Каждый раз, когда среди мутантов возникает вид с большей селективной ценностью и оказывается способным выжить несмотря на флуктуации, которые на первой фазе угрожают его существованию, прежняя (мета-) стабильная популяция гибнет, и устанавливается новое стационарное распределение, в котором доминирует мутант, имеющий селективное преимущество. Несмотря на наличие «ошибочных копий», новое распределение все еще является очень острым. В каждый момент времени в системе представлена лишь относительно малая доля из общего числа всех возможных альтернатив* (мутантов). Распределение числа мутаций аппроксимируется распределением Пуассона.

Итак, эволюция состоит из ряда неустойчивостей, при развитии которых распределения вероятностей необратимо изменяются, причем это сопровождается приростом информации*). Этот процесс оптимизации не обязательно соответствует простому монотонному росту функции ценности, и в то же время он не является ненаправленным флуктуационным процессом. Наша игра с шарами еще достаточно проста для того, чтобы в предельном случае больших чисел она имела однозначно определенный результат, соответствующий абсолютному максимуму IV. «Наиболее приспособленный» здесь однозначно определяется посредством критерия ценности.

Это возвращает нас к фундаментальному вопросу, поставленному в конце предыдущей главы: может ли информация действительно возникать de novo, или же она только выявляется при помощи детерминистического в своей основе физического процесса.

- Другими словами: фильтрующий процесс отбора выбирает ^определенные альтернативы из микроскопи-

*) Прирост информации не обязательно означает возникновение новой информации — речь может идти и о выявлении информации, уже имеющейся, но скрытой «шумами». (Прим. ред.)

ческих недетерминированных элементарных событий, усиливает их и выявляет в макроскопическом процессе эволюции. Прокладывает ли он дорогу к предопределенной цели? Или же он имеет такой характер, что только дорога определяет цель, и, следовательно, никакие исторические пути развития не являются априорно необходимыми? Только в последнем случае прирост информации, связанный с изменением распределения вероятностей, можно приписать истинному возникновению, а не выявлению семантической информации.

Введем снова пронумерованные шары. На этот раз различия в номерах будут соответствовать истинному различию состояний. Для игры нам понадобится один ящик. Для хранения запаса шаров необходим еще один ящик, в котором каждый из N номеров должен быть представлен N шарами.

В игровой ящик кладут N шаров, щэичем каждый номер может быть представлен сначала только одним шаром. Правила игры снова очень просты: не загля дывая в ящик, из него вынимают произвольно выбранный шар. Шары всегда должны быть хорошо перемешаны, чтобы шапсы быть вынутым для каждого из них были одинаковы. Судьба вынутого шара может быть двоякой: он либо «удваивается», т. е. его кладут обратно в игровой ящик вместе со вторым шаром, имеющим тот же номер, либо его просто удаляют из игрового ящика и кладут обратно в запасной ящик. Если оба процесса чередовать строго попеременно, то общее число шаров в игровом ящике будет оставаться всегда постоянным ( — N).

Чередование событий можно, конечно, предоставить случаю. Тогда число шаров в игровом ящике будет флуктуировать: оно может увеличиваться или, с равной вероятностью, уменьшаться. При этом рано или поздно оно обязательно упадет до нуля, в среднем это происходит уже через N 2 ходов. Этот случай иллюстрирует необратимую флуктуационную катастрофу, сравнимую с финансовым крахом игрока в рулетку.

Число шаров с определенным номером будет флуктуировать, как и общее число шаров. Некоторые номера будут быстро вымирать, зато другие будут представлены несколькими шарами. То же самое будет происходить, коиечно, и при строгом чередовании удвоения и удаления шаров, только в этом случае общее число шаров N в игровом ящике остается постоянным. Разберем подробнее этот более прозрачный случай. Номера, которые были представлены в игровом ящике только одним шаром и были удалены прежде, чем им удалось удвоиться, не имеют шансов вернуться в игру. Напротив, те номера, которые удвоились или даже размножились и приобрели в результате этого повышенную устойчивость — они не так легко могут стать жертвой флуктуационной катастрофы. Эта игра всегда приводит к неизбежному результату — «выживание» одного-единственного номера, который зато будет представлен N шарами.

Перед нами, очевидно, случай «отбора», хотя никто здесь специально не занимался отбором, следуя какому-либо критерию. Таким образом, отбор здесь является лишь следствием определенного флуктуационного поведения. Для рассмотренного варианта игры никак нельзя предсказать, какой" именно номер будет ото-

Рис. 12. Игра в селекцию. Если для каждого сорта шаров задать функцию Р (п), т. е. распределение вероятностей того, что соответствующий сорт будет представлен п шарами, то в конце игры для всех сортов, кроме одного, эти функции при всех значениях п будут равны нулю. Однако всегда будет существовать сорт, для которого Р(п) будет принимать ненулевые значения. Если нет ошибок, то Р(га)=0 для всех n < N, но Р{?г) = i для n=2V (б-функция). При конечной вероятности ошибки эта кривая расширяется, но в общем случае она будет оставаться гораздо уже, чем распределение Гаусса, показанное на рис. 10.

бран. Все номера имеют в точности равные Шансы. В начале игры распределение вероятностей строго равномерно. Для каждого номера вероятность выжить равняется 1 /N. Это распределение все время изменяется вследствие флуктуации. Каждый раз, когда вымирает какой-либо номер, мы регистрируем прирост информации. Это продолжается до тех пор, пока, наконец, вероятности отбора для всех номеров, кроме одного, не обратятся в нуль. Этот единственный номер i отбирается, для него вероятность выживания Pi становится равной единице, т. е. превращается в достоверность. Вместо размытого распределения Гаусса в первой игре или совершенно выровненного прямоугольного распределения во второй игре здесь мы имеем дело с однозначным выбором (рис. 10—12). Рис. 12 иллюстрирует игру в селекцию. Два графика здесь характеризуют распределения шаров в начале и в конце игры. Распределение вероятностей было бы здесь малоинформативно, так как a priori любой сорт шаров моя^ет вылшть с равной вероятностью. Но в действительности в конце игры всегда происходит выбор лишь одного сорта или, при конечной вероятности ошибки, лишь немногих сортов.

Дарвин характеризовал отбор как «выживание наиболее приспособленных». Часто задают вопросы, как охарактеризовать это состояние «наибольшей приспособленности» для живого существа и по каким критериям должна происходить такая «оценка». Если бы максимальная приспособленность определялась лишь при помощи самого факта выживания, то дарвиновский принцип выражал бы лишь тавтологию «выживание выживающих».

Только что рассмотренный вариант третьей игры демонстрирует именно такую ситуацию. Кроме самого факта выживания не имеется других критериев. «Выживание» здесь является абсолютно непредсказуемым результатом флуктуационного процесса. Дарвин, наверняка, не имел в виду этот случай, когда он формулировал свой принцип. Тем не менее, этот пример делает очевидным, что самоорганизация, основанная: на отборе, является по существу следствием определенного физического поведения системы, когда флуктуации способны усиливаться. При этом отдельные флуктуации непредсказуемы. Они сводятся к элемен тарным событиям, т. е. к квантовым явлениям, подчиняющимся соотношениям неопределенностей Гей-зенберга. В игре Эренфестов элементарный процесс тоже не детерминирован. Однако там непредсказуемость отдельных событий настолько ограничивается законом больших чисел, что для макроскопических систем вероятностные законы поведения превращаются в детерминистические. Последний же вариант игры допускает усиление флуктуации, и поэтому микроскопическая неопределенность может здесь отображаться в макроскопических явлениях. Паскуаль Иордан указывал на возможность макроскопического отображения микроскопических событий еще на заре квантовой механики.

Только что описанная игра является лишь мысленным экспериментом, который в таком виде по самой своей сути совершенно непригоден для описания реальных физических систем. Процесс удвоения требует инструктирования на молекулярном уровне, который может реализоваться лишь посредством определенных селективных взаимодействий. Такие взаимодействия имеют конечную величину и всегда подвержены тепловым возмущениям, вследствие чего некоторая доля инструкций оказывается ошибочной. Для молекулярного процесса невозможен абсолютно правильный выбор между альтернативами. Таким образом, наша игра нереалистична. Чтобы верно отобразить действительность, какую-то долго удвоений мы должны заменить введением новых номеров. Это легко достигается изменением правил игры. Сохранил! строгое чередование «рождения» и «смерти», но пусть теперь некоторая наперед выбранная часть всех редупликаций — например, в зависимости от вероятности ошибки, каждая десятая, сотая или миллионная часть, не будет происходить. Вместо этого система пополняется шаром с «новым» номером > N. Теперь, конечно, ие может быть никакого устойчивого отбора, во всяком случае, пока сумма всех шаров может увеличиваться и уменьшаться с равной вероятностью. При постоянной сумме N из ящика в среднем удаляется столько же шаров, сколько в него попадает, однако одновременно из-за конечной вероятности ошибки в ящик постоянно приходят новые шары. Поэтому для каждого сорта (номера) шаров вероят ность удвоения должна быть несколько меньше, чем вероятность удаления из ящика. Это означает, что каждый номер должен через конечное время вымереть. Номера шаров, находящихся в ящике, блуждают по всему набору чисел. Никакого устойчивого отбора больше нет.

Однако для исхода игры не столь важно, какое максимальное число пар можно образовать — более важным является, насколько быстро образуется возможно большее число пар. Во-первых, это зависит от удачи при бросаниях кости. Для того чтобы скомнлементировать одну пару, в среднем требуется четыре бросания. Во-вторых, очень существенно, сколько пар можпо образовать из случайной последовательности в самом начале игры. Здесь шпилька со сцепленными концами очень невыгодна, потому что она содержит лишь одну возможность расположения нар. Можно ожидать, что в начале игры будет иметь ся в среднем только -у—~ } -пар. Если улыбнется счастье,

то число пар будет несколько больше, при неудаче их будет меньше. Однако со средним поведением нигде нельзя продвинуться очень далеко. Секрет выигрыша состоит в том," что игру надо начинать с возможно большим положительным отклонением от среднего значения. Относительное отклонение тем больше, чем короче области спаривания. Положительные и отрицательные отклонения встречаются, однако, с равной вероят-

Таблица 4 (продолжение’)

ностью. Для коротких областей пужпо было бы иметь в своем распоряжении очень много альтернативных возможностей спаривания, чтобы выбрать из них наилучшую комбинацию с положительным отклонением. Победителем будет тот, кто сумеет найти оптимальный компромисс между требованием «не очень большого числа петель» и требованием «как можно более коротких последовательностей». Структура шппльки связывает игрока по рукам и ногам. Значительно более благопрпятпой является уже J ‘-crpyKTypa, в которой можно варьировать относительные длины всех трех плеч. Число элементов в каждом плече должно быть не меньше тех минимальных значений, которые указываются правилом кооперативности. При этом для заданной Г-структуры ожидаемое значение начального числа пар

1 N — 10 1 N — 5 снижается до •-:>-(по сравнению с —2-Д ля структуры шпильки). Однако для больших значений N это несущественно. Выигрывается много больше благодаря тому, что теперь можно испробовать большое число возможных Т-структур и выбрать из них ту, которая соответствует наибольшему положительному отклонению. Конечно, останавливаться на Г-структу-рах нет никаких оспования — можпо испробовать структуры трех- или четырехдольного клеверного листа или, наконец, структуру цветка со многими лепестками. Где же граница?

Поскольку для образования одной кооперативной области в среднем необходимы три пары, максимальное число к та ,& лепестков определяется следующим условием;

Левая сторона этого уравнения дает максимальное число пар в структуре, содержащей к петель (лепестков). Правая сторона содержит утверждение, что каждый из к лепестков (а также стебель, т. е. всего к-\-1 область) в среднем должен содержать не менее чем три пары. Конечпо, структура с к тя * лепестками снова крайне неблагоприятна, потому что она (как и шпилька) имеет линь одну возможность расположения пар п, сверх этого, теряет 5к положений для образования петель. Поэтому можно ожидать, что оптимальной окажется некая промежуточная структура с к <Z femax лепестками. Этот оптимум легко рассчитать. Для N = 80 (т-РНК) предпочтительной структурой является трех- или четырехлепестковый клеверный лист (для этого случая kmn-z = Q,7). Для iV = 220 («минивариант» РНК-фага <?р) оптимум следует ожидать для к = 9— 10 (&тах = 19 ,5) . Природа, очевидно, знала этот секрет, о чем свидетельствуют вторичные структуры реальных функционирующих молекул РНК, которые изображены на рис. 1 — 3 и 15. Дальнейшая «пространственная укладка» структуры в этой игре пв учитывается — для этого потребовались бы более сложные правила. Однако при веденные здесь правила легко обобщить как в этом направлении, так н для того, чтобы они учитывали другие, более сложные, селективные преимущества.

Отличие от игры Конуэя состоит в том, что здесь участвует слз’-чай: во-первых, берется произвольная начальная последовательность, во-вторых, для спаривания используется бросание кости. Поэтому в этой игре отдельпые последовательности н структуры не определяются детерминистическим образом, хотя при не очень больших значеппях N число возможных альтернатив еще относительно невелико.

Эту эволюционную игру можно варьировать . многими способами. Например, два игрока могут объединить свои усилия и, обмениваясь участками цепей — т. с. используя генетическую рекомбинацию, могут повысить скорость эволюции (при этом обмен будет одним из исходов при специальном бросании кости). Если ввести кодирование, то можно придумывать самые разнообразные игры с «переводом». Например, с помощью икосаэдра, двадцать грапей которого сим-нолизируют двадцать природных аминокислот, можно было бы «генерировать» белковые структуры. IГанга фантазия так же мало, ограничена, как и страсть природы к вариациям. Самопроизвольный ход эволюционной игры в природе, как и в игре «Жизнь» Конуэя, обеспечивается селекционными свойствами, которые имитировала третья «игра в бисер» (см. стр. 43). Эти свойства позволяют обходиться без игрока и наделяют систему способностью к самоорганизация. Предполагается лишь паличие качеств, общих для всех живых систем: метаболизм, самовоспроизведение и мутабяль-ность. Математическое описание таких «природных» игр требует синтеза различных теорий:

1) теории вероятностей для описания прироста информации,

2) теории случайных процессов для описания «пе-устойчивоетей»,

3) теории игр для определения оптимального пути эволюции.

Теория игр, или теория оптимизации, восходит к Джону фон Нейману [16]. Ее применение к естественной эволюции показывает, что нельзя определенно предсказать ни конечное состояние,, ни путь к нему, их можно только в известной степени ограничить с помощью критериев оптимизации. Для линейной системы оптимальный путь означает монотонное возрастание «селективной ценности». Правда, здесь случайное исходное распределение бесповоротно определяет путь. Вступив на эту горную тропу, монотонно ведущую все выше и выше, ее нельзя более покинуть, даже если имеется другой, более короткий и крутой,’ но местами спускающийся путь. И из всех возможных вершин можно достигнуть только одной, вовсе не обязательно самой высокой. Для этого случая наша эволюционная игра дает впечатляющий пример. Эта игра становится интересной только из-за того, что в ней происходит выбор между возможными альтернативами.

1. Стерическое правило. Различные области последовательности можно спаривать лпшь путем изгибания цепочки в одной плоскости. При этом должны возникать петли. Пять элементов в такой петле не могут быть спарены по стерическим причинам. Может образоваться любая плоская форма: «шпилька», «клеверный лист», «ромашка» и т. д. Можно ввести дополнительное требование, чтобы копцы цепи всегда находились рядом — друг против друга. Этим отбираются симметричные структуры, которые в природном процессе эволюции обладают определенным селективным преимуществом, так как у них облегчается взаимное копирование: (-|-)-цепь (—)-цепь.

2. Правило комплемептарности. Если в изогнутой цепочке два элемента с комплементарными цветами (красный — зеленый и синий — желтый) находятся друг против друга и одновременно выполнено третье правило, то опи считаются «парой» и скрепляются между собой.

3. Правило кооперативности. Комплементарные элементы можпо соединять в пару только тогда, когда при этом получается непрерывная последовательность пар, состоящая пе менее чем из четырех красно-зеленых пар, или из двух красно-зеленых и одной сине-желтой пары, или же из двух сине-желтых пар. Для таких «устойчивых» пар больше пе нужно бросать кость, опи считаются отобрапными.

Игра кончается после того, как пройдет заранее установленное число кругов, или «преждевременно», если кто-либо из игроков предъявит полностью спаренную структуру. В обоих случаях выигравшим считается тот, у которого будет наибольшее число очков. Каждая красно-зеленая пара (А — У) дает одно очко, каждая сипе-желтая пара (Г—Ц) —два очка.. Считаются только те пары, которые паходятся в кооперативных участках. Эти правила точно соответствуют дег<стг.птельностп: стабильность кооперативных Г — Ц-пар вдвое в*, не, чем А — У-пар. Те отдельные пары, которые располаг;ис-г. за пределами кооперативных участков, при комнатной темпог-тгуре нестабильны. Введение дополнительных правил кооп&;>-щян п конкуренции может сделать эту игру зпачптельпо " >лев утонченной а придать ей захватывающий «стратегический» характер.

Рис. 14. Начальная и конечная фазы игры «Эволюция РНК», а) К началу игры имеется произвольная последовательность длиной около 80 нуклеотидов. С помощью тетраэдра можно имитировать мутации. Мутация отбирается, если она приводит к образованию комплементарной пары оснований (правила игры даны в табл. 3). б) «Клеверный лист» с оптимальным числом пар оснований. Теория игры (см. табл. 4) предсказывает возникновение таких структур в процессе эволюции.

Рис. 15 а. Возможный способ спаривания в фаговой РНК.

в табл. 3. Эти правила основываются на количественных исследованиях олигонуклеотидов с различными последовательностями [11]. Таким образом, игра должна приводить к реалистическим выводам. В действительности это так и есть, насколько показывают проведенные до сих пор анализы последовательностей. Рис. 1—3 и 15 дают примеры экспериментально найденных последовательностей оснований в нуклеиновых кислотах.

На рис. 15а и б обозначены два альтернативных способа спаривания фаговой РНК. Фаг Q$ имеет специфичный фермент, который избирательно узнает инфекционную фаговую РНК. В пробирке под давлением отбора можно создавать «минимонстры» фаговой РНК. Они уже не инфекционпы, но по-прежнему содержат область узнавания исходной молекулы РНК. Благодаря селекционным условиям преимущественно размножается мутант, имеющий максимальную скорость воспроизведения и стабильность. Молекула, изображенная на рисунке, была выделена Спигелманом и сотрудниками. Последовательности нуклеотидов в обеих комплементарных цепях были однозначно определены Миллсом, Крамером и Спигелманом (Science, 1973, v. 180, p. 916). Этот эксперимент

(см. также рис. 16) точно имитируется эволюционной игрой, описанной на рис. 14 и в табл. 3 и 4. Реальная укладка цепи соответствует предсказаниям теории. По меньшей мере все функционирующие молекулы РНК

(ср. также со структурой т-РНК, рис. 1 — 3 и 14), для которых существенны высокая стабильность и способность к воспроизведению, эволюционируют в природе согласно описанным критериям. Здесь приведены лишь вторичные структуры (укладка в плоскости). Как и в случае т-РНК, пространственная укладка будет приводить к дальнейшей стабилизации структуры.

Игра (табл. 3) правильно предсказывает вторичные структуры (укладки цепей в плоскости), которые из них можно вывести. Для транспортных РНК структура «клеверного листа» достигается быстрее, чем структура «шпильки», а для фаговой РНК, содержащей многие сотни оснований, «выигрывает» всегда структура «ромашки». В табл. 4 и на рис. 14 дан пример, показывающий ход игры. Оптимально спаренную

структуру транспортной РНК с 80 нуклеотидами в эволюционной игре можно получить уже после 80— J 00 бросаний. Для чисто азартной игры случайное совпадение, которое дало бы полностью спаренный, но в остальном совершенно произвольный «клеверный лист», должно было бы ожидаться в среднем только после 3 • 10 19 бросаний. Преимущество игры, направляемой отбором, становится тем больше, чем длиннее последовательность (см. табл. 4).

Таблица 4

Руководящие указания п пригяеры к игре «Эволюция РНК»

(см. также рис. 15)

Как легче всего добиться выигрыша в этой игре? Как и в игре Копуэя «Жизнь», важно начинать, имея благоприятпую исходную конфигурацию, т. е. определенный тип укладки цепи. Его можно в большой степени определить самому, но чтобы досталась благоприятная исходная последовательность, нужна еще удача.

Рассмотрим цепочку аз /V элементов. Простейшей симметричной формой со спарениыдш концами будет шпилька. Опа имеет длинпую область спаривания, которая закапчивается петлей,— таким образом, для образования пар теряется только пять положений. Сначала может показаться, что это и есть оптимальная структура, поскольку слишком большое число петель должно, очевидно, уменьшать шансы на выигрыш. Максимальное число пар, которое может образоваться в фигуре с к петлями, равно

(N — 5 А*) /2.

Правило, случай и выбор относятся к существенным элементам игры. Многие игры целиком определяются диктатом правил, и потому их ход полностью закономерен. В других преобладает случай — мы говорим об азартных играх. Сочетание обоих элементов ведет к третьей категории игр, в которых на переднем плане стоит выбор, управляемый определенными критериями, т. е. оптимизирующая стратегия. К этой категории относятся наиболее интересные стратегические игры, такие, как шахматы и го. Очевидно, что здесь развитие игровой ситуации соответствует возникновению информации, обладающей семантикой, обусловленной правилами. По такому принципу «играет» и живая природа.

В дальнейшем мы будем постепеипо развивать идею взаимодействия закона и случая, руководствуясь моделями — «играми в бисер». Мы будем называть их так не только потому, что шарики, необходимые для игры, могут быть и бисером, по прежде всего потому, что эти игры, основанные на простых правилах, на высшей стадии своего развития реализуют то представление о единстве Природы и Духа, которое изложено в «Игре в бисер» Германа Гессе:

«Эти правила, язык знаков и грамматика Игры суть не что иное, как высокоразвитая тайнопись, к которой причастнъг многие науки и искусства, особенно математика и музыка (соответственно музыковедение), и которая способна выразить и связать друг с другом содержание и результаты почти всех наук».

Здесь перед нами встает фундаментальный вопрос: а может ли информация вообще возникать? Или же; она лишь выявляется? Не сводится ли в конечном сче-*§ те вся семантика к прасемаптике, и не определяется ли она в таком случае неотъемлемыми свойствами материи? На этот вопрос — кореппой вопрос для па-стоящей работы — мы сможем дать ответ только в четвертой главе. Сначала нужно рассмотреть еще несколько предпосылок *) I.

*) Как заказано в Предисловии, вопрос о смысле, содержа-?! нии или ценности информации особенно существен для биологии и требует специального рассмотрения. Очень важен также | вопрос о возникновении информации, поставленный авторами i (см. далее). (Прим. ред.) |

Правило, случай и выбор относятся к существенным элементам игры. Многие игры целиком определя ются диктатом правил, и потому их ход полностью закономерен. В других преобладает случай — мы говорим об азартных играх. Сочетание обоих элементов ведет к третьей категории игр, в которых на переднем плане стоит выбор, управляемый определенными критериями, т. е. оптимизирующая стратегия. К этой категории относятся наиболее интересные стратегические игры, такие, как шахматы и го. Очевидно, что здесь развитие игровой ситуации соответствует возникновению информации, обладающей семантикой, обусловленной правилами. По такому принципу «играет» и живая природа.

В дальнейшем мы будем постепенно развивать идею взаимодействия закона и случая, руководствуясь моделями — «играми в бисер». Мы будем называть их так не только потому, что шарики, необходимые для игры, могут быть и бисером, ио прежде всего потому, что эти игры, основанные на простых правилах, на высшей стадии своего развития реализуют то представление о единстве Природы и Духа, которое изложено в «Игре в бисер» Германа Гессе:

Эти правила, язык знаков и грамматика Игры суть не что иное, как высокоразвитая тайнопись, к которой причастны многие науки и искусства, особенно математика и музыка (соответственно музыковедение), и которая способна выразить и связать друг с другом содержание и результаты почти всех наук».

Для первой игры (рис. 10) нам понадобятся два ящика, по которым мы произвольно распределим оп-

Рис. 10. Схема «урновой» игры, а) «Моментальный снимок» отдельного хода игры: шар 13 переносится из левого ящика в правый, б) Распределение вероятностей Р(п) того, что флуктуация будет иметь величину п. Это гауссово распределение, интеграл по которому (т. е. площадь под кривой) нормирован на единицу. Величина п задает отклонение от равномерного распределения (2y /2 шаров в каждом ящике), в) Запись ходов одной игры по Кольраушу и Шредиигеру (Physik, Zeitschr., 1926, Bd. 27, S. 307). По оси абсцисс отложено число ходов Z, по оси ординат—разность чисел шаров в обоих ящиках 2n, iV=100 t

ределенное число (TV) шаров. «Произвольно» означает, что начальное распределение шаров совершенно безразлично, например, можно положить их все в один ящик, а другой оставить пустым, или распределить их поровну по обоим ящикам. Важно, чтобы все шары были пронумерованы и чтобы каждый номер (от 1 до 7V) встречался только один раз. Кроме того, нам понадобится лотерейная машина — колесо счастья или барабан, с помощью которой можно было бы «вытянуть» с равной априорной вероятностью любое число от 1 до N. Теперь можно начинать игру. Правила игры очень просты: каждый раз, когда выбор падает на определенное число, шар с соответствующим номером следует вынуть из того ящика, где он находился, д переложить его в другой ящик.

Допустим, что продолжительность игры не очень мала — это выполняется для большинства лотерей. Игрока больше всего интересует выигрыш. Мы занялись этой игрой тоже лишь из-за ее результата, который полностью воспроизводим,— уже после сравнительно небольшого числа ходов в каждом ящике будет находиться в среднем N[2 шаров. Впрочем, здесь важна оговорка — в среднем, ибо если считать точно, то в одном из ящиков мы будем находить то большее, то меньшее число шаров, т. е. N/2 ± п, а в другом ящике, соответственно, N/2 п шаров. Величина флуктуации п также имеет воспроизводимое среднее значение — она пропорциональна у’ N. Это означает, что относительная флуктуация убывает с ростом числа шаров N, хотя абсолютная флуктуация при этом растет. Чем больше шаров взято для игры, тем точнее будет выполняться равномерное распределение. При очень больших значениях N флуктуации будут едва заметны, и в пределе мы получим детерминистический закон распределения. Распределение вероятностей для п можно задать в явном виде. При достаточно больших N это распределение близко к гауссову, т. е. к колоколообразной кривой с полушириной порядка V^iV и относительной высотой порядка 1/У N (см. рис. 10).

Каждое состояние, на языке физиков*^ микросостояние, которое характеризуется перечислением всех номеров в каждом из ящиков, имеет вероятность 2.

Впрочем, нас не так уж интересуют эти мпкросостоя-ния. Мы гораздо больше хотим узнать что-нибудь о макросостояниях, которые характеризуются числами п. Существуют всего два макросостояния, которым соответствует только по одному микросостоянию, т. е, которые можно реализовать лишь, одним распределением шаров по ящикам. Эти состояния характеризуются величиной

n = zhN/2,

т. е. все шары находятся в одном ящике, второй ящик пуст. Естественно, что такие флуктуации реализуются очень редко, особенно при больших N. Напротив, состояние равномерного распределения п = О реализуется чаще всего, потому что его можно получить наибольшим числом способов размещения шаров. Энтропия достигает здесь максимума. Однако при больших iV число способов реализации даже этого состояния .очень мало по сравнению с числом всех состояний 2 jV .

Только примерно (l/i/"iV)-я доля всех микросостояний соответствует состоянию с п = О. Поэтому игра почти всегда будет заканчиваться с ненулевой, хотя и относительно малой, флуктуацией п, _заключенной

обычно в интервале между ~\-~\/ г N и— V N. Мы можем ^назвать выигрышем положительную флуктуацию и проигрышем — отрицательную. Такая игра обещает быть интересной только при малых N благодаря относительно большим флуктуациям. Для N = 6 можно пользоваться обычной игральной костью. В этом случае экстремальные флуктуации

jz=zbN/2

имеют вероятность 1/64, таким образом, в среднем через 32 хода мы придем к одной из экстремальных ситуаций, которую можно считать концом игры.

В физике эта игра известна как «модель Эренфес-тов». Ее придумали голландские физики — супруги Эренфесты примерно на рубеже нашего века. Она сыграла существенную роль при выяснении природы флуктуации в молекулярных распределениях. Не кто иные, как Кольрауш и Шредингер, имели даже терпение действительно «играть» в эту игру и опубликовать полученные результаты.

На рпс. 10 приведена часть подобного ряда на^ блгодений.