Игры в бисер
Правило, случай и выбор относятся к существенным элементам игры. Многие игры целиком определяются диктатом правил, и потому их ход полностью закономерен. В других преобладает случай — мы говорим об азартных играх. Сочетание обоих элементов ведет к третьей категории игр, в которых на переднем плане стоит выбор, управляемый определенными критериями, т. е. оптимизирующая стратегия. К этой категории относятся наиболее интересные стратегические игры, такие, как шахматы и го. Очевидно, что здесь развитие игровой ситуации соответствует возникновению информации, обладающей семантикой, обусловленной правилами. По такому принципу «играет» и живая природа.
В дальнейшем мы будем постепеипо развивать идею взаимодействия закона и случая, руководствуясь моделями — «играми в бисер». Мы будем называть их так не только потому, что шарики, необходимые для игры, могут быть и бисером, по прежде всего потому, что эти игры, основанные на простых правилах, на высшей стадии своего развития реализуют то представление о единстве Природы и Духа, которое изложено в «Игре в бисер» Германа Гессе:
«Эти правила, язык знаков и грамматика Игры суть не что иное, как высокоразвитая тайнопись, к которой причастнъг многие науки и искусства, особенно математика и музыка (соответственно музыковедение), и которая способна выразить и связать друг с другом содержание и результаты почти всех наук».
Здесь перед нами встает фундаментальный вопрос: а может ли информация вообще возникать? Или же; она лишь выявляется? Не сводится ли в конечном сче-*§ те вся семантика к прасемаптике, и не определяется ли она в таком случае неотъемлемыми свойствами материи? На этот вопрос — кореппой вопрос для па-стоящей работы — мы сможем дать ответ только в четвертой главе. Сначала нужно рассмотреть еще несколько предпосылок *) I.
*) Как заказано в Предисловии, вопрос о смысле, содержа-?! нии или ценности информации особенно существен для биологии и требует специального рассмотрения. Очень важен также | вопрос о возникновении информации, поставленный авторами i (см. далее). (Прим. ред.) |
Правило, случай и выбор относятся к существенным элементам игры. Многие игры целиком определя ются диктатом правил, и потому их ход полностью закономерен. В других преобладает случай — мы говорим об азартных играх. Сочетание обоих элементов ведет к третьей категории игр, в которых на переднем плане стоит выбор, управляемый определенными критериями, т. е. оптимизирующая стратегия. К этой категории относятся наиболее интересные стратегические игры, такие, как шахматы и го. Очевидно, что здесь развитие игровой ситуации соответствует возникновению информации, обладающей семантикой, обусловленной правилами. По такому принципу «играет» и живая природа.
В дальнейшем мы будем постепенно развивать идею взаимодействия закона и случая, руководствуясь моделями — «играми в бисер». Мы будем называть их так не только потому, что шарики, необходимые для игры, могут быть и бисером, ио прежде всего потому, что эти игры, основанные на простых правилах, на высшей стадии своего развития реализуют то представление о единстве Природы и Духа, которое изложено в «Игре в бисер» Германа Гессе:
Эти правила, язык знаков и грамматика Игры суть не что иное, как высокоразвитая тайнопись, к которой причастны многие науки и искусства, особенно математика и музыка (соответственно музыковедение), и которая способна выразить и связать друг с другом содержание и результаты почти всех наук».
Для первой игры (рис. 10) нам понадобятся два ящика, по которым мы произвольно распределим оп-
Рис. 10. Схема «урновой» игры, а) «Моментальный снимок» отдельного хода игры: шар 13 переносится из левого ящика в правый, б) Распределение вероятностей Р(п) того, что флуктуация будет иметь величину п. Это гауссово распределение, интеграл по которому (т. е. площадь под кривой) нормирован на единицу. Величина п задает отклонение от равномерного распределения (2y /2 шаров в каждом ящике), в) Запись ходов одной игры по Кольраушу и Шредиигеру (Physik, Zeitschr., 1926, Bd. 27, S. 307). По оси абсцисс отложено число ходов Z, по оси ординат—разность чисел шаров в обоих ящиках 2n, iV=100 t
ределенное число (TV) шаров. «Произвольно» означает, что начальное распределение шаров совершенно безразлично, например, можно положить их все в один ящик, а другой оставить пустым, или распределить их поровну по обоим ящикам. Важно, чтобы все шары были пронумерованы и чтобы каждый номер (от 1 до 7V) встречался только один раз. Кроме того, нам понадобится лотерейная машина — колесо счастья или барабан, с помощью которой можно было бы «вытянуть» с равной априорной вероятностью любое число от 1 до N. Теперь можно начинать игру. Правила игры очень просты: каждый раз, когда выбор падает на определенное число, шар с соответствующим номером следует вынуть из того ящика, где он находился, д переложить его в другой ящик.
Допустим, что продолжительность игры не очень мала — это выполняется для большинства лотерей. Игрока больше всего интересует выигрыш. Мы занялись этой игрой тоже лишь из-за ее результата, который полностью воспроизводим,— уже после сравнительно небольшого числа ходов в каждом ящике будет находиться в среднем N[2 шаров. Впрочем, здесь важна оговорка — в среднем, ибо если считать точно, то в одном из ящиков мы будем находить то большее, то меньшее число шаров, т. е. N/2 ± п, а в другом ящике, соответственно, N/2 п шаров. Величина флуктуации п также имеет воспроизводимое среднее значение — она пропорциональна у’ N. Это означает, что относительная флуктуация убывает с ростом числа шаров N, хотя абсолютная флуктуация при этом растет. Чем больше шаров взято для игры, тем точнее будет выполняться равномерное распределение. При очень больших значениях N флуктуации будут едва заметны, и в пределе мы получим детерминистический закон распределения. Распределение вероятностей для п можно задать в явном виде. При достаточно больших N это распределение близко к гауссову, т. е. к колоколообразной кривой с полушириной порядка V^iV и относительной высотой порядка 1/У N (см. рис. 10).
Каждое состояние, на языке физиков*^ микросостояние, которое характеризуется перечислением всех номеров в каждом из ящиков, имеет вероятность 2.
Впрочем, нас не так уж интересуют эти мпкросостоя-ния. Мы гораздо больше хотим узнать что-нибудь о макросостояниях, которые характеризуются числами п. Существуют всего два макросостояния, которым соответствует только по одному микросостоянию, т. е, которые можно реализовать лишь, одним распределением шаров по ящикам. Эти состояния характеризуются величиной
n = zhN/2,
т. е. все шары находятся в одном ящике, второй ящик пуст. Естественно, что такие флуктуации реализуются очень редко, особенно при больших N. Напротив, состояние равномерного распределения п = О реализуется чаще всего, потому что его можно получить наибольшим числом способов размещения шаров. Энтропия достигает здесь максимума. Однако при больших iV число способов реализации даже этого состояния .очень мало по сравнению с числом всех состояний 2 jV .
Только примерно (l/i/"iV)-я доля всех микросостояний соответствует состоянию с п = О. Поэтому игра почти всегда будет заканчиваться с ненулевой, хотя и относительно малой, флуктуацией п, _заключенной
обычно в интервале между ~\-~\/ г N и— V N. Мы можем ^назвать выигрышем положительную флуктуацию и проигрышем — отрицательную. Такая игра обещает быть интересной только при малых N благодаря относительно большим флуктуациям. Для N = 6 можно пользоваться обычной игральной костью. В этом случае экстремальные флуктуации
jz=zbN/2
имеют вероятность 1/64, таким образом, в среднем через 32 хода мы придем к одной из экстремальных ситуаций, которую можно считать концом игры.
В физике эта игра известна как «модель Эренфес-тов». Ее придумали голландские физики — супруги Эренфесты примерно на рубеже нашего века. Она сыграла существенную роль при выяснении природы флуктуации в молекулярных распределениях. Не кто иные, как Кольрауш и Шредингер, имели даже терпение действительно «играть» в эту игру и опубликовать полученные результаты.
На рпс. 10 приведена часть подобного ряда на^ блгодений.