Игра жизни

Введем снова пронумерованные шары. На этот раз различия в номерах будут соответствовать истинному различию состояний. Для игры нам понадобится один ящик. Для хранения запаса шаров необходим еще один ящик, в котором каждый из N номеров должен быть представлен N шарами.

В игровой ящик кладут N шаров, щэичем каждый номер может быть представлен сначала только одним шаром. Правила игры снова очень просты: не загля дывая в ящик, из него вынимают произвольно выбранный шар. Шары всегда должны быть хорошо перемешаны, чтобы шапсы быть вынутым для каждого из них были одинаковы. Судьба вынутого шара может быть двоякой: он либо «удваивается», т. е. его кладут обратно в игровой ящик вместе со вторым шаром, имеющим тот же номер, либо его просто удаляют из игрового ящика и кладут обратно в запасной ящик. Если оба процесса чередовать строго попеременно, то общее число шаров в игровом ящике будет оставаться всегда постоянным ( — N).

Чередование событий можно, конечно, предоставить случаю. Тогда число шаров в игровом ящике будет флуктуировать: оно может увеличиваться или, с равной вероятностью, уменьшаться. При этом рано или поздно оно обязательно упадет до нуля, в среднем это происходит уже через N 2 ходов. Этот случай иллюстрирует необратимую флуктуационную катастрофу, сравнимую с финансовым крахом игрока в рулетку.

Число шаров с определенным номером будет флуктуировать, как и общее число шаров. Некоторые номера будут быстро вымирать, зато другие будут представлены несколькими шарами. То же самое будет происходить, коиечно, и при строгом чередовании удвоения и удаления шаров, только в этом случае общее число шаров N в игровом ящике остается постоянным. Разберем подробнее этот более прозрачный случай. Номера, которые были представлены в игровом ящике только одним шаром и были удалены прежде, чем им удалось удвоиться, не имеют шансов вернуться в игру. Напротив, те номера, которые удвоились или даже размножились и приобрели в результате этого повышенную устойчивость — они не так легко могут стать жертвой флуктуационной катастрофы. Эта игра всегда приводит к неизбежному результату — «выживание» одного-единственного номера, который зато будет представлен N шарами.

Перед нами, очевидно, случай «отбора», хотя никто здесь специально не занимался отбором, следуя какому-либо критерию. Таким образом, отбор здесь является лишь следствием определенного флуктуационного поведения. Для рассмотренного варианта игры никак нельзя предсказать, какой" именно номер будет ото-

Рис. 12. Игра в селекцию. Если для каждого сорта шаров задать функцию Р (п), т. е. распределение вероятностей того, что соответствующий сорт будет представлен п шарами, то в конце игры для всех сортов, кроме одного, эти функции при всех значениях п будут равны нулю. Однако всегда будет существовать сорт, для которого Р(п) будет принимать ненулевые значения. Если нет ошибок, то Р(га)=0 для всех n < N, но Р{?г) = i для n=2V (б-функция). При конечной вероятности ошибки эта кривая расширяется, но в общем случае она будет оставаться гораздо уже, чем распределение Гаусса, показанное на рис. 10.

бран. Все номера имеют в точности равные Шансы. В начале игры распределение вероятностей строго равномерно. Для каждого номера вероятность выжить равняется 1 /N. Это распределение все время изменяется вследствие флуктуации. Каждый раз, когда вымирает какой-либо номер, мы регистрируем прирост информации. Это продолжается до тех пор, пока, наконец, вероятности отбора для всех номеров, кроме одного, не обратятся в нуль. Этот единственный номер i отбирается, для него вероятность выживания Pi становится равной единице, т. е. превращается в достоверность. Вместо размытого распределения Гаусса в первой игре или совершенно выровненного прямоугольного распределения во второй игре здесь мы имеем дело с однозначным выбором (рис. 10—12). Рис. 12 иллюстрирует игру в селекцию. Два графика здесь характеризуют распределения шаров в начале и в конце игры. Распределение вероятностей было бы здесь малоинформативно, так как a priori любой сорт шаров моя^ет вылшть с равной вероятностью. Но в действительности в конце игры всегда происходит выбор лишь одного сорта или, при конечной вероятности ошибки, лишь немногих сортов.

Дарвин характеризовал отбор как «выживание наиболее приспособленных». Часто задают вопросы, как охарактеризовать это состояние «наибольшей приспособленности» для живого существа и по каким критериям должна происходить такая «оценка». Если бы максимальная приспособленность определялась лишь при помощи самого факта выживания, то дарвиновский принцип выражал бы лишь тавтологию «выживание выживающих».

Только что рассмотренный вариант третьей игры демонстрирует именно такую ситуацию. Кроме самого факта выживания не имеется других критериев. «Выживание» здесь является абсолютно непредсказуемым результатом флуктуационного процесса. Дарвин, наверняка, не имел в виду этот случай, когда он формулировал свой принцип. Тем не менее, этот пример делает очевидным, что самоорганизация, основанная: на отборе, является по существу следствием определенного физического поведения системы, когда флуктуации способны усиливаться. При этом отдельные флуктуации непредсказуемы. Они сводятся к элемен тарным событиям, т. е. к квантовым явлениям, подчиняющимся соотношениям неопределенностей Гей-зенберга. В игре Эренфестов элементарный процесс тоже не детерминирован. Однако там непредсказуемость отдельных событий настолько ограничивается законом больших чисел, что для макроскопических систем вероятностные законы поведения превращаются в детерминистические. Последний же вариант игры допускает усиление флуктуации, и поэтому микроскопическая неопределенность может здесь отображаться в макроскопических явлениях. Паскуаль Иордан указывал на возможность макроскопического отображения микроскопических событий еще на заре квантовой механики.

Только что описанная игра является лишь мысленным экспериментом, который в таком виде по самой своей сути совершенно непригоден для описания реальных физических систем. Процесс удвоения требует инструктирования на молекулярном уровне, который может реализоваться лишь посредством определенных селективных взаимодействий. Такие взаимодействия имеют конечную величину и всегда подвержены тепловым возмущениям, вследствие чего некоторая доля инструкций оказывается ошибочной. Для молекулярного процесса невозможен абсолютно правильный выбор между альтернативами. Таким образом, наша игра нереалистична. Чтобы верно отобразить действительность, какую-то долго удвоений мы должны заменить введением новых номеров. Это легко достигается изменением правил игры. Сохранил! строгое чередование «рождения» и «смерти», но пусть теперь некоторая наперед выбранная часть всех редупликаций — например, в зависимости от вероятности ошибки, каждая десятая, сотая или миллионная часть, не будет происходить. Вместо этого система пополняется шаром с «новым» номером > N. Теперь, конечно, ие может быть никакого устойчивого отбора, во всяком случае, пока сумма всех шаров может увеличиваться и уменьшаться с равной вероятностью. При постоянной сумме N из ящика в среднем удаляется столько же шаров, сколько в него попадает, однако одновременно из-за конечной вероятности ошибки в ящик постоянно приходят новые шары. Поэтому для каждого сорта (номера) шаров вероят ность удвоения должна быть несколько меньше, чем вероятность удаления из ящика. Это означает, что каждый номер должен через конечное время вымереть. Номера шаров, находящихся в ящике, блуждают по всему набору чисел. Никакого устойчивого отбора больше нет.